谢邀。首先元朝≠蒙古帝国,元朝的建立就是以蒙古帝国的四分五裂作为代价的。元朝是个统一国家,蒙古帝国也是个统一国家,但是元朝建立以后,“蒙古帝国”就已经不复存在。
成吉思汗统一蒙古诸部以后,建立了“大蒙古国”,而他的四个儿子,长子术赤在花拉子模旧都玉龙杰赤附近建立了汗国;次子察合台在西辽、乃蛮旧地建立汗国;三子窝阔台继承大汗之位;四子托雷继承了他大部分的军队与财产。这四个儿子都是铁木真与自己的表姐妻子孛儿帖所生的嫡出,然而后来的蒙古帝国兴盛,却是由长子术赤与幼子托雷的后代进行的。
术赤死后,其长子拔都奉命进行了著名的蒙古帝国西征,一直打到了欧洲多瑙河地区,欧洲教廷闻风丧胆,最终建立了著名的“金帐汗国”;而托雷被窝阔台害死以后,他与大妃唆鲁帖所生的儿子中,蒙哥继承了大汗之位。而蒙哥死在钓鱼城以后,托雷的儿子忽必烈与阿里不哥争夺大汗之位,最终忽必烈胜出。
忽必烈封地在金朝旧地,从小就深受汉文化熏陶,夺权以后迁都大都,以汉制建立元朝。而不服他的蒙古诸汗也各自执政,蒙古帝国分裂。虽然都名义上奉元朝为宗主,但事实上已经没有牵扯。
当年托雷的小儿子旭烈兀,奉命西征西南亚。灭掉了阿拉伯帝国后饮马两河流域,后因为他的兄弟们内讧而放弃了攻打北非,回到中原。忽必烈定鼎中原后回到西南亚,建立伊儿汗国。
而金帐汗国与元朝的关系稍微紧密一些,但是地理上并不接壤,而且金帐汗国的内政也不受元朝辖制,并非一个国家。