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你好，你这类经济纠纷我遇到的挺多的，也处理过类似的案子，我谈谈我的看法，也许对你有启发意义。

你的公司没有与你签劳动合同，也没有给你购买社保，还无故开除你，总体看你们公司对你违法的行为做全了。所以，你可以获得的权益有未签合同的第二倍工资、开除你的双倍赔偿金以及补缴社保。下面我将一一分析，你就什么也明白了。

你在公司上班三个半月，工资合计21380元，按三个月基数算，你平均每月工资约为7100元。现在公司没有与你签劳动合同，所以按照《劳动合同法》的规定，公司需要支付你2.5个月的未签合同的第二倍工资，按7100元/月工资算，你可以一次性获得17750元未签合同的二倍工资。

你现在是无故被公司开除的，这属于违法解除劳动合同的行为，要按照2N＋1的模式赔偿，由于你只干了三个半月，所以这个N按照《劳动合同法》的规定应该为0.5，因此公司开除你需要一次性支付你14200元。

上述两项赔偿合计为31950元。再看看你们公司的意愿赔偿，只愿意支付你8000元，中间少了约24000元啊，所以你们公司的补偿明显偏少，最起码要按照31950元的对半支付给你，也就是最少应该支付你18000元。而你仅仅要求公司支付16000元就结了这个案子，比18000还少2000呢，要求合理，一点都不过分。

但即便如此，你的公司依然坚持只补偿你8000元，与你要求的16000差距太大，你们双方又坚持不退让，所以你们必然无法协商达成一致，只能你申请劳动仲裁。毫无疑问，你申请仲裁必然胜诉，但你在申请劳动仲裁前必须做一件事，就是收集一切证据资料证明你与公司存在事实劳动合同关系，这个应该不难，因为只有你与公司存在事实劳动关系，你才可以要求单位支付你赔偿的。没有事实劳动合同关系的认定，你无法要求公司支付上述所有钱款，这一点必须谨记。

还有一个权益需要争取，那就是要求公司补缴社保。这个你申请劳动仲裁的时候可以一并提出来，还可以到社保局投诉。

总的来说，你一共可以获得3万多一点赔偿，你妥协退让后只要求公司支付16000很合理，我觉得不能再少了。如果公司不答应，那就全面彻底仲裁吧，到时候公司可能一分钱都少不了，那就是自找的。祝愿你能够拿到合理满意的赔偿。